Найти пределы функции

$\lim_{x \to 0} {2x\over tg(2\pi(x+{1\over2}))}=\{ {0\over0}\}$

Неопределенность типа 0/0. Воспользуемся правилом Лопиталя:

$\lim_{x \to 0} {2x\over tg(2\pi(x+{1\over2}))}=\lim_{x \to 0} {(2x)'\over (tg(2\pi(x+{1\over2})))'}=\lim_{x \to 0} {2\over 2\pi{1\over cos^2(2\pi(x+1/2))}}=\\=\lim_{x \to 0} {cos^2(2\pi(x+1/2))\over\pi}={1\over\pi}$