Помогите пожалуйста. Исследовать знакопеременные ряды на условную или абсолютную...

$\sum\limits _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1} \cdot \frac{lnn}{n} \\\\|a_{n}|= \frac{lnn}{n}$
Признак Лейбница выполняется:
$1)a_{n}=\frac{lnn}{n} \; ,\; \; a_1= 0\; ,\; a_2=\frac{ln2}{2}\approx 0,3466\; ,\; a_3= \frac{ln3}{3}\approx 0,3662\; ,\\\\a_4=\frac{ln4}{4}\approx 0,3466,\; a_5= \frac{ln5}{5}\approx0,3219\; ,\; a_6= \frac{ln6}{6}\approx 0,2986\; ,...\\\\a_1\ \textless \ a_2\ \textless \ a_3\ \textgreater \ a_4\ \textgreater \ a_5\ \textgreater \ a_6\ \textgreater \ ...\ \textgreater \ a_{n}\ \textgreater \ ...$

Начиная с 3-го номера члены ряда убывают по абсолютной величине.
(В формулировке признака сказано, что члены ряда из абсолютных величин должны убывать, начиная с некоторого номера.)

$2)\; \; \lim\limits _{n\to +\infty }|a_{n}|= \lim\limits _{n \to \infty} \frac{lnn}{n}= \lim\limits _{n \to \infty} \frac{(lnn)'}{n'}= \lim\limits _{n \to \infty}\frac{\frac{1}{n}}{1} =0$

Знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница, то есть условно.
Проверим на абсолютную сходимость.
По интегральному признаку сходимости:

$\int\limits^{\infty }_1 \frac{lnx}{x}\, dx = \lim\limits _{a \to \infty} \int\limits^a_1 \frac{lnx}{x} \, dx = \lim\limits _{a \to \infty} ( \frac{ln^2x}{2})\Big |_1^{a}=\\\\ =\frac{1}{2}\lim\limits _{a \to \infty} (\underbrace {ln^2a}_{\infty }-\underbrace {ln^21}_{0})=\infty$

Несобственный интеграл расходится, значит и ряд из абсолютных величин расходится.
Поэтому у знакочередующегося ряда не будет абсолютной сходимости, но, как мы проверили, есть условная сходимость.

Помогите пожалуйста. Исследовать знакопеременные ряды ** условную или абсолютную...