Пусть задано уравнение с двумя переменными F(x; y). Вы уже познакомились со способами решения таких уравнений аналитически. Множество решений таких уравнений можно представить и в виде графика.
Графиком уравнения F(x; y) называют множество точек координатной плоскости xOy, координаты которых удовлетворяют уравнению.
Для построения графика уравнения с двумя переменными сначала выражают в уравнении переменную y через переменную x.
Наверняка вы уже умеете строить разнообразные графики уравнений с двумя переменными: ax + b = c – прямая, yx = k – гипербола, (x – a)2 + (y – b)2 = R2 – окружность, радиус которой равен R, а центр находится в точке O(a; b).
Пример 1.
Построить график уравнения x2 – 9y2 = 0.
Решение.
Разложим на множители левую часть уравнения.
(x – 3y)(x+ 3y) = 0, то есть y = x/3 или y = -x/3.
Ответ: рисунок 1.
Особое место занимает задание фигур на плоскости уравнениями, содержащими знак абсолютной величины, на которых мы подробно остановимся. Рассмотрим этапы построения графиков уравнений вида |y| = f(x) и |y| = |f(x)|.
Первое уравнение равносильно системе
{f(x) ≥ 0,
{y = f(x) или y = -f(x).
То есть его график состоит из графиков двух функций: y = f(x) и y = -f(x), где f(x) ≥ 0.
Для построения графика второго уравнения строят графики двух функций: y = f(x) и y = -f(x).
Пример 2.
Построить график уравнения |y| = 2 + x.
Решение.
Заданное уравнение равносильно системе
{x + 2 ≥ 0,
{y = x + 2 или y = -x – 2.
Строим множество точек.