Помогите решить показательные уравнения

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

В первом номере просто выносим за скобку множитель $4^x$
$4^x(3 + 3 \cdot 4 + 4^2) = 62 \\ 4^x \cdot 31 = 62 \\ 4^x = 2$
Во что надо возвести четверку, чтобы получить два? Очевидно, что это $\displaystyle \frac{1}{2}$ . Но в общем случае, надо привести левую и правую часть к одному основанию
$\displaystyle 2^{2 \cdot x} = 2^1 \\ 2 \cdot x = 1 \\ x = \frac{1}{2}$

Во втором случае, нужно немного преобразовать наше выражение и сделать замену переменных.
$2\cdot 5\cdot 5^{2x} - 49\cdot 5\cdot 5^{x-1} - 5 = 0 \\ 2\cdot 5\cdot 5^{2x} - 49\cdot 5^{x} - 5 = 0 \\ 10\cdot t^2 - 49\cdot t - 5 = 0$
Дальше остается решить квадратное уравнение, оставлю это на вас.

в 3 варианте используется следующий метод
Необходимо разделить уравнение либо на $2^{2x}$ либо на $3^{2x}$

$\displaystyle 3\cdot 2^{2x} + 2^{x}\cdot 3^{x} - 2\cdot 3^{2x} = 0 \\ \\ 3\cdot \frac{2^{2x}}{3^{2x}} + \frac{2^x\cdot 3^x}{3^{2x}} - 2 = 0 \\ \\ 3\cdot ( \frac{2}{3} ) ^{2x} + (\frac{2}{3} )^x - 2 = 0 \\ \\ t = (\frac{2}{3})^x , t \ \textgreater \ 0 \\ \\ 3\cdot t^2 + t - 2 = 0$

Дальше опять квадратное уравнение. Только не забудьте сделать обратную замену!

krenovut_zn (1.6k баллов) 18 Май, 18