Определение. Число T называется периодом функции f, если \forall x\in D_f x+T\in D_f и f(x+T)=f(x).
Если \forall x\in D_f числа x+T и x-T принадлежат D_f и f(x+T)=f(x), то f(x-T)=f(x-T+T)=f(x).
Определение. Функция называется периодической, если у нее есть период, не равный нулю.
Примеры.
1) f(n)=(-1)^n, n\in\mathbb{Z}, f(x)=\{x\}.
Любое целое число является периодом этой функции.
2) f(x)=\sin x,
f(x)=\cos x,
f(x)={\rm tg}\, x,
f(x)={\rm ctg}\, x.
Число 2\pi является периодом любой из этих функций.
Теорема. Если T_1,T_2 — периоды функции f, то T_1+T_2,T_1-T_2 — тоже периоды f.
Доказательство. Пусть x\in D_f. Тогда
\[\left.\begin{array}{l} x+T_1\in D_f,\\ x-T_1\in D_f, \end{array}\right|\Rightarrow \begin{array}{l} (x+T_1)+T_2\in D_f,\\ (x-T_1)-T_2\in D_f. \end{array}\]
\[\begin{array}{c} x+(T_1+T_2)\in D_f,\\ x-(T_1+T_2)\in D_f,\\ f(x+(T_1+T_2))=f((x+T_1)+T_2)=f(x+T_1)=f(x). \end{array}\]
Аналогично доказывается, что T_1-T_2 — период.