Если бы еще было дано равенство
АА1 = BB1 = CC1, то однозначно плоскости были бы параллельны, а без равенства этого утверждать нельзя.
Расположить треугольники в параллельных плоскостях, закрепить вершины А и А1, сторону ВС поднять вверх, В1С1 - вниз на равные расстояния. Получится, что плоскости пересекутся.
И АА1 || BB1 || CC1 образуют не параллелограммы, а равнобедренные трапеции