54 и 55 задание,срочно

54.
Все три уравнения - линейные ОДУ 2-го порядка.
Для начала нужно будет решить характеристическое уравнение и затем получить решение ОДУ в зависимости от корней характеристического уравнения.

1)
${d^2y\over dx^2}-6{dy\over dx}+9y=0$
$k^2-6k+9=0\\(k-3)^2=0\\k_{1,2}=3$
Как мы видим, дискриминант равен 0, а поэтому решение представимо в виде
$y=(C_1x+C_2)e^{k_{1,2}x}=(C_1x+C_2)e^{3x}$

2)
Все аналогично
$y''+2y'+y=0\\ k^2+2k+1=0\\ (k+1)^2=0\\\\ y=(C_1x+C_2)e^{-x}$

3)
$y''+10y'+25=0\\ k^2+10k+25=0\\ (k+5)^2=0\\\\ y=(C_1x+C_2)e^{-5x}$

55.
Делаем то же самое, но подстановкой данных из условия находим C_1 и C_2

1)
$y''-10y'+25y=0\\ k^2-10k+25=0\\(k-5)^2=0\\\\ y=(C_1x+C_2)e^{5x}\\ y(0)=C_2=2\\\\ y'=C_1e^{5x}+5(C_1x+2)e^{5x}\\y'(0)=C_1+5*2=8\\C_1=-2\\\\ y=(-2x+2)e^{5x}$

2)
$y''+6y+9=0\\ k^2+6k+9=0\\ (k+3)^2=0\\\\ y=(C_1x+C_2)e^{-3x}\\\\ y(0)=C_2=1\\\\ y'=C_1e^{-3x}-3(C_1x+1)e^{-3x}\\ y'(0)=C_1-3=2\\C_1=5\\\\y=(5x+1)e^{-3x}$