Докажем, что если в треугольнике медиана равна половине стороны, то этот треугольник — прямоугольный.
Утверждение.
Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то угол напротив этой стороны равен 90º.
Дано:
∆ABC,
CO — медиана,
CO=1/2 AB
Доказать: ∠ACB=90º.
Доказательство.
1) Так как CO — медиана треугольникаABC и CO=1/2 AB (по условию), то CO=AO=BO.
Поэтому, треугольник AOC — равнобедренный с основанием AC,
треугольник BOC — равнобедренный с основанием BC (по определению равнобедренного треугольника).
2) Так как углы при основании равнобедренного треугольника равны,
∠OAC=∠OCA,
∠OBC=∠OCB.
Пусть ∠OAC=OCA=φ.
Так как сумма углов треугольника равна 180º, то в треугольнике AOC
∠AOC=180º-(∠OAC+∠OCA)=180º-2φ.
3) ∠AOC+∠BOC=180º (как смежные).
Поэтому, ∠BOC=180º-∠AOC=180º-(180º-2φ)=180º-180º+2φ=2φ.
4) В треугольнике BOC
∠OBC=∠OCB=(180º-∠BOC):2=(180º-2φ):2=90º-φ.
5) ∠ACB=∠OCB+∠OCA=90º-φ+φ=90º.
Что и требовалось доказать.