Тема правописания ЖИ-ШИ (а также ЧА-ЩА, ЧУ-ЩУ) возникает на форумах постоянно - видно, удовлетворительный ответ пока не получен.
Казалось бы ясно: написание ЖИ-ШИ отражает древнерусское произношение, когда шипящие звуки Ж и Ш были мягкими. В 13 веке произошло их отвердение, и слова, содержащие эти звуки, стали произноситься твёрдо, но их написание сохранилось прежним. Только почему оно сохранилось прежним - вот в чем вопрос. Для сравнения для буквы Ц мы же имеем другую картину.
Звук Ц в древнерусском языке также был мягким, его отвердение началось в 14-15 веках и к 17 веку отразилось на письме: отцы, улицы, бледнолицый, лисицын, а также цыган, цыпленок, на цыпочках.(Кажется, написание И в таких словах, как циновка, цирюльник, цифра, панцирь, было установлено только Правилами 1956 года?).
Для ЧА-ЩА, ЧУ-ЩУ также картина неясная, эти-то звуки всегда были мягкими. И на эту тему не получается найти убедительной информации.
https://rus.stackexchange.com/questions/31373/%D0%9A%D1%82%D0%BE-%D0%B8-%D0%B7%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%...