Известно, что для всех пар положительных чисел (x; y), для которых выполняются равенство...

Question

Известно, что для всех пар положительных чисел (x; y), для которых выполняются равенство x+y=6 и неравенство x^2+y^2>23, выполняется и неравенство x^4+y^4>m. Какое наибольшее значение может принимать m?

Answer 1

Т.к. x⁴+y⁴=((x²+y²)²+2(x+y)²(x²+y²)-(x+y)⁴)/2
(что легко проверяется раскрытием скобок), то при х+у=6 выполнено
x⁴+y⁴=((x²+y²)²+2·6²·(x²+y²)-6⁴)/2. Т.е., когда x²+y² пробегает интервал (23;+∞), величина x⁴+y⁴ пробегает интервал
((23²+2·6²·23-6⁴)/2;+∞)=(444,5;+∞), т.е. максимальное m=444,5.