Вычислите предел функций. ДАЮ 50 БАЛЛОВ. Легкие задания

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

3. Неопределённость ∞/∞ раскрываем делением числителя и знаменателя на икс в максимальной степени, т.е. на $x^{4}$ :

$\lim_{x \to \infty} \frac{1-x^4}{1- x^{2} +8x^4} =\lim_{x \to \infty} \frac{ \frac{1}{x^4} -1}{ \frac{1}{x^4} - \frac{1}{x^2} +8} = \\ \\ =\frac{ \frac{1}{\infty^4} -1}{ \frac{1}{\infty^4} - \frac{1}{\infty^2} +8} = \frac{0-1}{0-0+8} =- \frac{1}{8}$

4. Неопределённость 0/0 раскрываем умножением числителя и знаменателя на выражение, сопряжённое со знаменателем, т.е. на $2+ \sqrt{x-1}$ :

$\lim_{x \to \inft5} \frac{x-5}{2-\sqrt{x-1}} =\lim_{x \to \inft5} \frac{(x-5)(2+ \sqrt{x-1})}{(2-\sqrt{x-1})(2+ \sqrt{x-1} )} =$

$=\lim_{x \to \inft5} \frac{(x-5)(2+ \sqrt{x-1})}{4-(x-1)} =\lim_{x \to \inft5} \frac{(x-5)(2+ \sqrt{x-1})}{(5-x)} =$

$= -\lim_{x \to \inft5} (2+ \sqrt{x-1}) = -(2+ \sqrt{5-1}) =-4$

5. Неопределённость $1^{\infty}$ раскрываем с помощью второго замечательного предела. Но для начала сделаем некоторые преобразования.

$\lim_{x \to \infty} ( \frac{1+x}{x} )^{ \frac{x}{2} }= \\ \\ =\lim_{x \to \infty} (1+ \frac{1}{x} )^{ \frac{x}{2} }=$

$=\lim_{x \to \infty} [(1+ \frac{1}{x} )^{x* \frac{1}{x} } ]^{ \frac{x}{2} }= \\ \\ =\lim_{x \to \infty} [(1+ \frac{1}{x} )^{x} ]^{ \frac{1}{x} * \frac{x}{2} }=$

$=[\lim_{x \to \infty} (1+ \frac{1}{x} )^{x} ]^{ \frac{1}{2} }= \\ \\$

$= e^{ \frac{1}{2} } = \sqrt{e}$

6. Неопределённость 0/0 раскрываем с помощью первого замечательного предела. Для этого вынесем за знак предела 1/3, а числитель и знаменатель умножим на 2.

$\lim_{x \to \inft0} \frac{sin2x}{3x} = \frac{1}{3} \lim_{x \to \inft0} \frac{2sin2x}{2x}=$

$= \frac{1}{3} *2*\lim_{x \to \inft0} \frac{sin2x}{2x}= \frac{1}{3} *2*1 = \frac{2}{3}$

AssignFile_zn (43.0k баллов) 18 Май, 18