Это неоднородное уравнение теплопроводности. Решение можно искать в виде суммы решения однородного уравнения и неоднородного с нулевым начальным условием. Я не писал общие формулы, они есть в учебниках и будем считать их известными. Например, Блинова И.В., Попов И.Ю. "Простейшие уравнения математической физики" СПб: СПбГУ ИТМО, 2009., глава 2 "Уравнение теплопроводности". Также пропустил подсчет интеграла в 2), он очевиден.
