1.
1) n = 1
81 - 18 - 9 = 54 = 3*18 - делится на 18
2) пусть для n верно
9ⁿ⁺¹ - 9 - 18n = 18t
3) докажем для n+1
9ⁿ⁺² - 18(n+1) - 9 = 9ⁿ⁺² - 18n - 18 - 9 = 8*9ⁿ⁺¹ + 9ⁿ⁺¹ - 18n - 9 - 18 =
= 8*9ⁿ⁺¹ + 18t - 18 = 18*4*9ⁿ + 18t - 18
очевидно делится на 18
по методу ММИ доказано
2.
по методу мат индукции
1) n = 1
1/3 = 1*2/(2*3) = 1/3 - верно
2) предположим для n верно
1²/(1*3) + ... + n²/((2n-1)(2n+1)) = n(n+1)/(2*(2n+1))
3) докажем для n + 1
1²/(1*3) + ... + n²/((2n-1)(2n+1)) + (n+1)²/((2n+1)(2n+3)) =
= n(n+1)/(2*(2n+1)) + (n+1)²/((2n+1)(2n+3)) = (n+1)/(2n+1) * (n/2 + (n+1)/(2n+3)) =
= (n+1)/(2n+1) * (2n² + 3n + 2n + 2)/(2(2n+3)) =
= (n+1)/(2n+1) * (2n² + 5n + 2)/(2(2n+3)) = (n+1)/(2n+1) * ((2n+1)(n+2)/(2(2n+3)) =
= (n+1)(n+2)/(2(2n+3)) - что и требовалось
Ответ: доказано по ММИ