Задание ** фото . с подробным решением

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

$y(x)=log_3(|x-4|+|x+5|)$

рассмотрим функцию при разных значениях ее аргумента х (числовая ось разбивается нулями подмодульных выражений, а именно $x_1=-5$ и $x_2=4$ ), а именно:
$(-\infty;-5)$ :
$y(x)=log_3(-(x-4)-(x+5))=log_3(-2x-1)$
этот логарифм существует при условии
$-2x-1\ \textgreater \ 0\\ -2x\ \textgreater \ 1\\ 2x\ \textless \ -1\\ x\ \textless \ 0.5$
Вывод: на интервале $(-\infty;-5)$ наша функция есть функцией $y(x)=log_3(-2x-1)$
-----------------------------------------------------------
${-5}$
$y(5)=log_3(|-5-4|+|-5+5|)=log_3(9)=log_3(3^2)=2$
при значении аргумента $-5$ функция принимает значение $2$
-----------------------------------------------------------
$(-5;4)$
$y(x)=log_3(-(x-4)+(x+5))=log_3(9)=2$
на интервале $(-5;4)$ наша функция принимает значение $2$
-----------------------------------------------------------
${4}$
$y(4)=log_3(|4-4|+|4+5|)=log_3(9)=2$
при значении аргумента $4$ функция принимает значение $2$
-----------------------------------------------------------
$(4;+\infty)$
y(x)=log_3(x-4+x+5)=log_3(2x+1)
этот логарифм существует при условии
$2x+1\ \textgreater \ 0\\ 2x\ \textgreater \ -1\\ x\ \textgreater \ -0.5$
Вывод: на интервале $(4;+\infty)$ наша функция есть функцией $y(x)=log_3(2x+1)$
--------------------------------------------
--------------------------------------------
Итого:
$y(x)=log_3(|x-4|+|x+5|)= \left \{ {{log_3(-2x-1),\ if\ x\ \textless \ -5} \atop {2,\ if\ -5 \leq x \leq 4}} \atop {log_3(2x+1),\ if\ x\ \textgreater \ 4}\right$

теперь же не сложно убедиться, что при $x\ \textless \ -5$ функция $y(x)=log_3(-2x-1)$ монотонно убывает, а функция $y(x)=log_3(2x+1)$ на промежутке $(4;+\infty)$ монотонно растет. (Просто постройте графики, что бы убедиться, или же строго докажите, за определением монотонного убывания, роста функций).
Вот и получаем, что минимальное значение функции равно $2$

xtoto_zn (8.6k баллов) 18 Май, 18