Решить уравнение путем введения дополнительного угла: 4cos2x + 3sin2x = 5

По формуле дополнительного угла:
$a\sin x\pm b\cos x= \sqrt{a^2+b^2}\sin(x\pm\arcsin \frac{b}{ \sqrt{a^2+b^2} } )$

В нашем случае

$\sqrt{3^2+4^2}\sin(2x+ \arcsin \frac{4}{\sqrt{3^2+4^2}})=5\\ \ 5\sin(2x+\arcsin \frac{4}{5} )=5~~|:5\\ \\ \sin(2x+\arcsin \frac{4}{5} )=1\\ \\ 2x+\arcsin \frac{4}{5} = \frac{\pi}{2}+2 \pi k,k\in \mathbb{Z}\\ \\ 2x= \frac{\pi}{2}-\arcsin \frac{4}{5} +2 \pi k,k \in \mathbb{Z}~~~|:2\\ \\ \boxed{x= \frac{\pi}{4}- \frac{1}{2} \arcsin \frac{4}{5} + \pi k,k \in \mathbb{Z} }$