Угол С – угол между векторами АС и ВС.
1) Найдем координаты векторов АС и ВС.
Чтобы найти координаты вектора, нужно найти разность соответствующих координат точки конца вектора и начала.
Найдем координаты вектора АС:
АС (хс – ха; ус – уа);
АС (4 – 1; 5 – 1);
АС (3; 4).
Найдем координаты вектора ВС:
ВС (хС – хВ; уС – уВ);
ВС (4 – 4; 5 – 1);
ВС (0; 4).
2) Скалярное произведение векторов:
АС * ВС = 3 * 0 + 4 * 4 = 0 + 16 = 16.
3) Найдем длины векторов АС и ВС.
Квадрат длины вектора равен сумме квадратов его координат.
Найдем длину вектора АС:
|АС|2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25;
|АС| = 5.
Найдем длину вектора ВС:
|ВС|2 = 02 + 42 = 16;
|ВС| = 4.
4) Найдем косинус угла между векторами:
cos С = АС * ВС / (|АС| *|ВС|) = 16 / (5 * 4) = 4/5 = 0,8.
Ответ: 0.8