Решить любым способом только с помощью ОДЗ

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

ОДЗ:
$2x^2-4x-1 \geq 0; \sqrt{2x^2-4x-1} -|x|+2 \neq 0$
$2x^2-4x-1 \geq 0; 2x^2-4x+2-3 \geq 0; 2(x-1)^2 \geq 3$
$|x-1| \geq \sqrt{ \frac{3}{2} } ; x \leq 1-\sqrt{ \frac{3}{2} } ,x \geq 1+\sqrt{ \frac{3}{2} }$
При x∈ОДЗ
уравнение эквивалентно уравнению
$|x^3|-|5x|=0$
При $x \geq 1+ \sqrt{ \frac{3}{2}}$
$x^3-5x=0$ . Так как x≠0, делим на x:
$x^2-5=0$
x=+-√5. x=-√5 заведомо не подходит, так как -√5<<img src="https://tex.z-dn.net/?f=1%2B%5Csqrt%7B+%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D+" id="TexFormula8" title="1+\sqrt{ \frac{3}{2}} " alt="1+\sqrt{ \frac{3}{2}} " align="absmiddle" class="latex-formula">
Проверим x=√5 (верно ли, что √5> $1+\sqrt{ \frac{3}{2}}$
Возведем обе части в квадрат:
5 и 5/2+√6
5/2 и √6. Снова возведем в квадрат:
25/4 и 6.
25/4>6, значит,
x=√5 может быть корнем уравнения. Осталось проверить, что знаменатель не равен 0:
$\sqrt{2(\sqrt{5})^2-4\sqrt{5}-1} -\sqrt{5}+2=\sqrt{9-4\sqrt{5}}-\sqrt{5}+2=$
$\sqrt{(\sqrt{5}-2)^2}-\sqrt{5}+2=\sqrt{5}-2-\sqrt{5}+2=0$
Значит, x=√5 не входит в ОДЗ и не может быть корнем.
2) При $x \leq 1- \sqrt{ \frac{3}{2}}$
уравнение равносильно уравнению
$-x^3+5x=0$
Аналогично получаем, что корнем может быть только x=-√5.
-√5<<img src="https://tex.z-dn.net/?f=1-+%5Csqrt%7B+%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D+" id="TexFormula14" title="1- \sqrt{ \frac{3}{2}} " alt="1- \sqrt{ \frac{3}{2}} " align="absmiddle" class="latex-formula">, так как 1-2=-1 " alt="1- \sqrt{ \frac{3}{2}}>1-2=-1 " align="absmiddle" class="latex-formula">
Проверим на вхождение в ОДЗ:
$\sqrt{2(-\sqrt{5})^2+4\sqrt{5}-1} -\sqrt{5}+2=\sqrt{9+4\sqrt{5}}-\sqrt{5}+2=$
$\sqrt{(\sqrt{5}+2)^2}-\sqrt{5}+2=\sqrt{5}+2-\sqrt{5}+2=4$
Значит, x=-√5 - единственный корень исходного уравнения

Kuкush_zn (8.5k баллов) 18 Май, 18