Какое наибольшее число последовательных натуральных чисел кратных пяти, начиная с 5 можно...

5; 10; 15; 20; ....

Рассмотрим эту арифметическую прогрессию с первым членом а₁=5 и разностью d=5

n - число натуральных чисел

ОДЗ: n ∈ N

Сумма S первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

$S_{n}= \frac{2 a_{1}+(n-1) }{2}*n$

в нашем случае

$S_{n}= \frac{2*5+(n-1)*d}{2}*n= \frac{10+5n-5}{2}*n= \frac{5 n^{2}+5n }{2}$

По условию

$\frac{5 n^{2} +5n}{2}\ \textless \ 765$

Найдем наибольшее натуральное решение этого неравенства . Для этого найдём корни уравнения:

$\frac{5 n^{2}+5n }{2} =765$

5n² + 5n = 765*2

5n² + 5n - 1530 = 0

n² + n - 306 = 0

D = b² - 4ac

D = 1² - 4 * 1 * (-306) = 1225

√D = √1225 = 35

n₁ = (-1 - 35)/2 = - 18 отрицательное значение не удовл. ОДЗ

n₂ = (-1 + 35)/2 = 17 - удовлетворяет ОДЗ

При n=17 сумма 17 слагаемых равна 765.

Следовательно, наибольшее натуральное число, для которого сумма будет меньше 765, равно 16.

n<17 => n=16

Ответ: n=16