По определению тангенса:
tgα = sinα/cosα
Тогда sinα·tgα = sinα·sinα/cosα = sin²α/cosα
По основному тригонометрическому тождеству:
sin²α/cosα = (1 - cos²α)/cosα
(1 - cos²α)/cosα = 1/2
2 - 2cos²α = cosα
2cos²α + cosα - 2 = 0
Пусть t = cosα, t ∈ [-1; 1]
2t² + t - 2 = 0
D = 1 + 2·2·4 = 17
t₁ = (-1 + √17)/4
t₂ = (-1 - √17)/4 - посторонний корень
Обратная замена:
cosα = (-1 + √17)/4
Ответ: cosα = (-1 + √17)/4.