Докажите что система уравнений имеет единственное вещественное решение x=y=z=0

$x^3 = y + 2y^3 \\ y^3 = z + 2z^3 \\ z^3 = x + 2x^3$

Заметим, что если x > 0, то и y > 0, и z > 0.
Также, если x < 0, то и y < 0, и z < 0.

Сложим почленно левые и правые части уравнений:

$x^3+y^3+z^3=y+z+x+2y^3+2z^3+2x^3 \\ \\ x^3+y^3+z^3 +x+y+z = 0$

Последнее равенство возможно только, если $x=y=z=0$ .
Если x ≠ 0, то и y ≠ 0 и z ≠ 0, причём одновременно(!), то левая часть всегда будет либо больше, либо меньше нуля. В этом легко убедиться, если мысленно подставить в последнее равенство x > 0, y > 0, z > 0 либо x < 0, y < 0, z < 0.