В данном случае речь идёт о симметрических системах. Решаются они таким образом. Решим первую систему. Пусть x + y = a, xy = b. Выразим сумму квадратов в первом уравнении через введённые буквы, для этого пользуемся формулой квадрата суммы:
(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2, отсюда
x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = a^2 - 2b - с учётом новых переменных.
Теперь посдтавим всё куда надо и перейдём к новой системе:
a = b a = b a = b a = b
a^2 - 2b = 4b b^2 - 2b - 4b = 0 b^2 - 6b = 0 b(b - 6) = 0
Из этой системы b = 0, тогда a = 0, или b = 6, тогда a = 6.
Итак, получили значения для a и b. Самое время вспомнить, что же такое a и b и вернуться к двум системам уже относительно x и y, и решим их:
x + y = 0 x = -y y = 0
xy = 0 -y^2 = 0 x = 0
Это первая система. Вторая решается аналогично:
x + y = 6 y = 6 - x -x^2 + 6x - 6 = 0 x^2 - 6x + 6 = 0
xy = 6 x(6-x) = 6 y = 6 - x y = 6-x
x^2 - 6x + 6 = 0
D = 36 - 24 = 12
x1 = (6 - корень из 12) / 2
x2 = (6 + корень из 12) / 2
Отсюда получили два значения x для системы, осталось лишь найти y:1 =
y1 = 6 - (6 - корень из 12) / 2 = (6 + корень из 12 / 2)
y2 = 6 - (6 + корень из 12) / 2 = (6 - корень из 12)/2
Таким образом, мы нашли все пары чисел. Решения системы такие: (0;0); ((6 - корень из 12) / 2; (6 + корень из 12) / 2); ((6 + корень из 12) / 2; (6 - корень из 12) / 2)
Вторая система также является симметрической, в чём нетрудно убедиться(подставь вместо x y и наоборот - система не изменится). Здесь подход тот же самый, не буду полностью решать, займёт в 3 раза больше места. Покажу всего лишь, как мы выражаем переменные.
Пусть x + y = a, xy = b, как обычно. Выразим сумму квадратов и сумму кубов:
сумму квадратов уже выражали в предыдущем уравнении - это a^2 - 2b. Выразим теперь сумму кубов. Как уже наверное догадались, это делается через формулу куба суммы. напомню её:
(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3
Выразим отсюда x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3x^2y - 3xy^2 = (x+y)^3 - (3x^2y + 3xy^2) = (x+y)^3 - 3xy(x + y) = (x+y)((x+y)^2 - 3xy)
Помня, что у нас x + y = a, xy = b, получим:
x^3 + y^3 = a(a^2 - 3b). Теперь осталось подставить в исходную систему уравнений эти выражения, решить относительно a и b, затем вернуться и решить полученные системы. Задача решена.