Решите пожалйста логарифмическую систему уравнений(желательно с фоткой)

Question 1

Question 2

1. Что x, что y больше 0. Это из определения логарифма.
2. Преобразуем первое уравнение системы: $log_2x- \frac{1}{2}log_2y=0; log_2x-log_2 y^{ \frac{1}{2} }=0; log_2x-log_2 \sqrt{y}=0;$
$log_2x=log_2 \sqrt{y}; x= \sqrt{y};$
Собственно, здесь всё правомерно, так как x и y из пункта 1 положительны.
3. Преобразуем второе уравнение (помним, что $x =\sqrt{y}$ ):
$\frac{1}{2}log_2x+log_2y=1; \frac{1}{2}log_2 \sqrt{y}+log_2y=1;log_2 \sqrt[4]{y}+log_2y=1;$
$log_2y \sqrt[4]{y}=1; y \sqrt[4]{y}=2; \sqrt[4]{y^5} =2; y^5=16; y= \sqrt[5]{16}; x= \sqrt{ \sqrt[5]{16} }= \sqrt[10]{16} ;$
$\left \{ {{x= \sqrt[10]{16} } \atop {y= \sqrt[5]{16} }} \right.;$
Ответ: $( \sqrt[10]{16}; \sqrt[5]{16})$ .
P.S. Св-ва логарифмов, которые я здесь использовал (a>0, b>0):
1) $log_ca+log_cb=log_c(ab);$
2) $log_ab^n=nlog_ab;$
3) $log_{a^n} b= \frac{1}{n}log_ab,$ n≠0;

ArtemCoolAc_zn · Answer 1 · 2018-05-26T10:49:38+0000

1. Что x, что y больше 0. Это из определения логарифма.
2. Преобразуем первое уравнение системы: $log_2x- \frac{1}{2}log_2y=0; log_2x-log_2 y^{ \frac{1}{2} }=0; log_2x-log_2 \sqrt{y}=0;$
$log_2x=log_2 \sqrt{y}; x= \sqrt{y};$
Собственно, здесь всё правомерно, так как x и y из пункта 1 положительны.
3. Преобразуем второе уравнение (помним, что $x =\sqrt{y}$ ):
$\frac{1}{2}log_2x+log_2y=1; \frac{1}{2}log_2 \sqrt{y}+log_2y=1;log_2 \sqrt[4]{y}+log_2y=1;$
$log_2y \sqrt[4]{y}=1; y \sqrt[4]{y}=2; \sqrt[4]{y^5} =2; y^5=16; y= \sqrt[5]{16}; x= \sqrt{ \sqrt[5]{16} }= \sqrt[10]{16} ;$
$\left \{ {{x= \sqrt[10]{16} } \atop {y= \sqrt[5]{16} }} \right.;$
Ответ: $( \sqrt[10]{16}; \sqrt[5]{16})$ .
P.S. Св-ва логарифмов, которые я здесь использовал (a>0, b>0):
1) $log_ca+log_cb=log_c(ab);$
2) $log_ab^n=nlog_ab;$
3) $log_{a^n} b= \frac{1}{n}log_ab,$ n≠0;