1) У нас этот факт доказывался в школьном учебнике при выводе "первого замечательного предела". Рассуждение было геометрическое. Брался угол величиной xx радиан в первой координатной четверти. Площадь сектора единичной окружности при этом равна 12x12x. Этот сектор содержится в прямоугольном треугольнике, один из катетов которого равен 1 (горизонтальный), а второй равен tgxtgx (вертикальный). Его площадб равна 12tgx12tgx. Отсюда из сравнения площадей следует неравенство x<<span>tgxx<<span>tgx, то есть xcosxxcosx.
2) Надо рассмотреть производную функции: y′=5ax2−60x+5(a+9)y′=5ax2−60x+5(a+9) и потребовать, чтобы она нигде не была отрицательной. Ясно, что a>0a>0, и тогда у квадратного трёхчлена ax2−12x+a+9ax2−12x+a+9должен быть дискриминант D≤0D≤0. Это значит, что a2+9a−36≥0a2+9a−36≥0, откуда a∈(−∞;−12]∪[3;+∞)a∈(−∞;−12]∪[3;+∞). С учётом положительности aa имеем a∈[3;+∞)a∈[3;+∞).