Решите показательное равнение, используя в решении указанный способ - введение новой...

$5^{2x+1} +5^{1-2x} -31(5^x +5^{-x}) +36=0\Leftrightarrow\\ \; 5\cdot(5^x)^2 + \dfrac{5}{(5^x)^2} -31\cdot(5^x+\dfrac{1}{5^x})+36=0$ .
Пусть
$5^x=t$ , тогда уравнение примет следующий вид:
$5(t^2+\dfrac{1}{t^2}) -31(t+\dfrac{1}{t}) +36=0$ .

Ещё одна замена: $t+\dfrac{1}{t}=z$ . Тогда $z^2=t^2+2+ \dfrac{1}{t^2} \ \Leftrightarrow \ t^2+\dfrac{1}{t^2}=z^2-2$ .
Уравнение принимает вид $5(z^2-2)-31z+36=0 \ \Leftrightarrow \ 5z^2-31z+26=0$ . Его корни равны $z_1=1$ и $z_2= \dfrac{26}{5}$ .

Возвращаемся ко второй замене: $t+\dfrac{1}{t}=1 \ \Leftrightarrow \ t^2-t+1=0$ или $t+\dfrac{1}{t}= \dfrac{26}{5} \ \Leftrightarrow \ 5t^2-26t+1=0$ . У первого уравнения нет действительных корней, у второго корни равны $t_1= \dfrac{1}{5}$ и $t_2=5$ .

Возвращаясь к исходной замене получаем: $x= \pm 5$ .