Решите дифференциальное уравнение y''-5y'+4y=e^3x

$y(x)=y_0(x)+y_1(x)$ , где $y_0(x)$ — общее решение однородного уравнения, а $y_1(x)$ — какое-то частное решение неоднородного.

Решаем однородное уравнение.
$y_0''-5y_0'+4y_0=0$

Характеристическое уравнение $\lambda^2-5\lambda+4=0$ имеет два различных вещественных корня $\lambda_1=1$ и $\lambda_2=4$ , поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид
$y_0(x)=Ae^{x}+Be^{4x},~A,B\in\mathbb R$

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде $y_1=Ce^{3x}$ . Подставляем это решение в уравнение:
$y_1''-5y_1'+4y_1=e^{3x}\\ 9Ce^{3x}-5\cdot3Ce^{3x}+4Ce^{3x}=e^{3x}\\ 9C-15C+4C=1\\ 2C=-1\\ C=-\dfrac12\\ y_1(x)=-\dfrac12e^{3x}$

$y(x)=y_0(x)+y_1(x)=Ae^{x}+Be^{4x}-\dfrac12e^{3x}$