Найдите все пары двузначных натуральных чисел, у которых среднее геометрическое в 25/24...

Question 1

Найдите все пары двузначных натуральных чисел, у которых среднее геометрическое в 25/24 раза меньше среднего арифметического. В ответе укажите наибольшее из средних геометрических для всех таких пар.

Question 2

$\sqrt{ab}=\dfrac{24}{25}\cdot\dfrac{a+b}2\\ 2500ab=576(a+b)^2\\ 576a^2-1348ab+576b^2=0\\ 144a^2-337ab+144b^2=0\\ 144\left(\dfrac ab\right)^2-337\cdot\dfrac ab+144=0\\ x=\dfrac ab:~144x^2-337x+144=0\\ D=337^2-4\cdot144^2=337^2-288^2=49\cdot625=175^2\\ x=\dfrac{337\pm175}{288}\\ x_1=\dfrac9{16},~x_2=\dfrac{16}9$

Итак, a и b относятся как 16 и 9 (или наоборот), т.е. равны 16k и 9k.
16k двузначное при $1\leqslant k\leqslant6$ , 9k двузначное при $2\leqslant k \leqslant 11$ . Значит, подходят $2\leqslant k\leqslant 6$ .

Все пары (a, b):
k = 2: (32, 18), (18, 32)
k = 3: (48, 27), (27, 48)
k = 4: (64, 36), (36, 64)
k = 5: (80, 45), (45, 80)
k = 6: (96, 54), (54, 96)

Среднее геометрическое $\sqrt{16k\cdot9k}=12k$ максимально при наибольшем k, $12\cdot k_{max}=12\cdot6=72$

Ответ: 72.

nelle987_zn · Answer 1 · 2018-05-26T11:50:10+0000

$\sqrt{ab}=\dfrac{24}{25}\cdot\dfrac{a+b}2\\ 2500ab=576(a+b)^2\\ 576a^2-1348ab+576b^2=0\\ 144a^2-337ab+144b^2=0\\ 144\left(\dfrac ab\right)^2-337\cdot\dfrac ab+144=0\\ x=\dfrac ab:~144x^2-337x+144=0\\ D=337^2-4\cdot144^2=337^2-288^2=49\cdot625=175^2\\ x=\dfrac{337\pm175}{288}\\ x_1=\dfrac9{16},~x_2=\dfrac{16}9$

Итак, a и b относятся как 16 и 9 (или наоборот), т.е. равны 16k и 9k.
16k двузначное при $1\leqslant k\leqslant6$ , 9k двузначное при $2\leqslant k \leqslant 11$ . Значит, подходят $2\leqslant k\leqslant 6$ .

Все пары (a, b):
k = 2: (32, 18), (18, 32)
k = 3: (48, 27), (27, 48)
k = 4: (64, 36), (36, 64)
k = 5: (80, 45), (45, 80)
k = 6: (96, 54), (54, 96)

Среднее геометрическое $\sqrt{16k\cdot9k}=12k$ максимально при наибольшем k, $12\cdot k_{max}=12\cdot6=72$

Ответ: 72.