X^2 = 4y + 31 = 4у + 28 + 3 = 4(y + 7) + 3
Это значит, что x^2 и x - нечетные числа, причем x^2 > 31.
Кроме того, при делении на 4 оно дает остаток 3.
Обозначим x = 2n + 1 и возведем его в квадрат.
x^2 = (2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 = 4(n^2 + n) + 1
Квадрат любого нечетного числа при делении на 4 дает остаток 1.
Таким образом, это уравнение не имеет решений в натуральных числах.