При каких а имеет единственное решение уравнение ...

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

$[ \sqrt{(x^2-3ax+8)} + \sqrt{(x^2-3ax+8)} \ ] \ ^x + \\ \\ + [ \sqrt{(x^2-3ax+8)} - \sqrt{(x^2-3ax+8)} \ ] \ ^x = 2 (\sqrt{x} )^x$

Пусть $(x^2-3ax+8) = b$

$( \sqrt{b} + \sqrt{b} \ )^x + ( \sqrt{b} - \sqrt{b} \ )^x = 2 (\sqrt{2} )^x$

$( 2\sqrt{b}\ )^x + 0 ^x = 2 (\sqrt{2} )^x$

!!! Здесь нужно отметить важное замечание.
Пусть второе слагаемое $0^x$ будет равно числу q , а 0=d тогда запишем в общем виде
$d^x = q$
если решить это выражение в общем виде, то
$x = log_d \ q$
правая часть представляет собой логарифм, который имеет смысл при
$d\ \textgreater \ 0, \ d \neq 1, \ q \ \textgreater \ 0$

Тогда делаем заключение
1) либо ошибка в условии задачи
2) либо НЕТ РЕШЕНИЯ

Ответ: НЕТ РЕШЕНИЯ

Дальше решение не имеет смысла, но предположим при подведении подобных мы не обратили внимание на это, тогда

$( 2\sqrt{b}\ )^x = 2 (\sqrt{2} )^x$

$\frac{( 2\sqrt{b}\ )^x}{(\sqrt{2} )^x} = 2 \\ \\ ( \sqrt{2} \sqrt{b}\ )^x} = 2$

$( \sqrt{2b})^x = 2 \\ \\ x = log_{ \sqrt{2b} } \ 2 = 2*log_{2b} } \ 2 = log_{2b} } \ 4$

ОДЗ логарифма

$\left \{ {{2b\ \ \textgreater \ \ 0 } \atop {2b \ \neq \ 1}} \right. \Rightarrow \left \{ {{b\ \ \textgreater \ \ 0 } \atop {b \ \neq \ 0,5}} \right.$

делаем обратную замену

$x^2-3ax+8 \ \textgreater \ 0$

Квадратный трехчлен больше ноля, когда $a\ \textgreater \ 0, \ D \ \textless \ 0$
тогда
$D = b^2 - 4ac \ \textless \ 0 \\ \\ (-3a)^2 - 4 * 1 *8 \ \textless \ 0$

$9a^2 \ \textless \ 32 \\ \\ a^2 \ \textless \ \frac{32}{9}$

$- \frac{4 \sqrt{2} }{3} \ \textless \ a \ \textless \ \frac{4 \sqrt{2} }{3}$

Кроме того, квадратный трехчлен имеет одно решение, если D = 0

$D = b^2 - 4ac = 0 \\ \\ (-3a)^2 - 4 * 1 *8=0 \\ \\ a = \pm \frac{4 \sqrt{2} }{3}$

Найденные значения "а" не принадлежат ОДЗ, найденное выше.

Ответ: НЕТ РЕШЕНИЯ

Vladislav006_zn (62.7k баллов) 26 Май, 18