Найти все значения парамнтра а , при которых для любого действительного значения x...

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Преобразуем выражение, стоящее под модулем.
$5\sin^2x+a\sin2x+\cos^2x+a+1=5(1-\cos^2x)+a\sin 2x+\cos^2x+\\+a+1=a+6+a\sin2x-4\cos^2x=a+6+a\sin 2x-2(1+\cos2x)\\=a+4+a\sin2x-2\cos2x=a+4+\\+\sqrt{a^2+4}\sin\left(2x-\arcsin\dfrac2{\sqrt{a^2+4}}\right)$
Очевидно, выражение под корнем всегда положительное.

Поскольку синус принимает все значения от -1 до 1, то выражение принимает все значения из отрезка
$\left[a+4-\sqrt{a^2+4},a+4+\sqrt{a^2+4}\right]$

Чтобы неравенство было удовлетворено при всех x, выражение под знаком модуля должно принимать значения только из отрезка [-6, 6]. Значит,
$\begin{cases}a+4-\sqrt{a^2+4}\geqslant-6\\a+4+\sqrt{a^2+4}\leqslant6\end{cases}$

Первое неравенство:
$a+4-\sqrt{a^2+4}\geqslant-6\\ \sqrt{a^2+4}\leqslant a+10\\ \begin{cases}a^2+4\leqslant(a+10)^2\\a+10\geqslant0\end{cases}\\ \begin{cases}a^2+4\leqslant a^2+20a+100\\a\geqslant-10\end{cases}\\ \begin{cases}20a\geqslant-96\\a\geqslant-10\end{cases}\\ a\in[-4.8,\infty)$

Второе неравенство:
$a+4+\sqrt{a^2+4}\leqslant6\\ \sqrt{a^2+4}\leqslant 2-a\\ \begin{cases}a^2+4\leqslant(2-a)^2\\2-a\geqslant0\end{cases}\\ \begin{cases}a^2+4\leqslant a^2-4a+4\\a\leqslant2\end{cases}\\ \begin{cases}4a\leqslant 0\\a\leqslant2\end{cases}\\ a\in(-\infty,0]$

Пересекаем решения для двух неравенств и получаем ответ.
$\boxed{a\in[-4.8,0]}$

nelle987_zn (148k баллов) 26 Май, 18