Докажите, что многочлен (x^2-xy+y^2)^3+(x^2+xy+y^2) принимает неотрицательное значение...

Question 1

Докажите, что многочлен (x^2-xy+y^2)^3+(x^2+xy+y^2) принимает неотрицательное значение при любых численные значениях входящих в него букв (разложить на множители и объяснить все по действиям).

Question 2

(x^2-xy+y^2)^3+(x^2+xy+y^2)^3

Question 3

1) Пусть y=0; тогда выражение превращается в $2x^6 \geq 0.$

2) Пусть $y\not= 0$ . Преобразуем выражение к виду

$y^6\left((\frac{x}{y})^2-\frac{x}{y}+1\right)^3+ y^6\left((\frac{x}{y})^2+\frac{x}{y}+1\right)^3;$

замена $\frac{x}{y}=t$ приводит его к виду

$y^6(t^2-t+1)^3+y^6(t^2+t+1)^3.$

Оба выражения, стоящие в скобках, неотрицательны, поскольку их дискриминанты отрицательны, а старшие коэффициенты положительны. А отсюда уже следует неотрицательность выражения целиком.

yugolovin_zn · Answer 1 · 2018-05-26T13:12:31+0000

1) Пусть y=0; тогда выражение превращается в $2x^6 \geq 0.$

2) Пусть $y\not= 0$ . Преобразуем выражение к виду

$y^6\left((\frac{x}{y})^2-\frac{x}{y}+1\right)^3+ y^6\left((\frac{x}{y})^2+\frac{x}{y}+1\right)^3;$

замена $\frac{x}{y}=t$ приводит его к виду

$y^6(t^2-t+1)^3+y^6(t^2+t+1)^3.$

Оба выражения, стоящие в скобках, неотрицательны, поскольку их дискриминанты отрицательны, а старшие коэффициенты положительны. А отсюда уже следует неотрицательность выражения целиком.