1) cosx≥0 - так как под корнем четной степени.
sinx≥0, так как иначе ![\sqrt[2017]{sinx} \ \textless \ 0, \sqrt[2018]{cosx} \leq 1, \sqrt[2017]{sinx} + \sqrt[2018]{cosx}\ \textless \ 1](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Csqrt%5B2017%5D%7Bsinx%7D+%5C+%5Ctextless+%5C+0%2C++%5Csqrt%5B2018%5D%7Bcosx%7D+%5Cleq+1%2C++%5Csqrt%5B2017%5D%7Bsinx%7D+%2B++%5Csqrt%5B2018%5D%7Bcosx%7D%5C+%5Ctextless+%5C++1 "\sqrt[2017]{sinx} \ \textless \ 0, \sqrt[2018]{cosx} \leq 1, \sqrt[2017]{sinx} + \sqrt[2018]{cosx}\ \textless \ 1")
Значит, решения могут быть только в I квадранте (включая границы).
2) Очевидно, что x1=2πn и x2=π/2+2πn являются решениями данного уравнения. В первом случае sinx=0, cosx=1, во втором sinx=1, cosx=0.
3) Покажем, что других корней быть не может.
Найдем производную функции
![f(x)=\sqrt[2017]{sinx} + \sqrt[2018]{cosx}](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%3D%5Csqrt%5B2017%5D%7Bsinx%7D+%2B+%5Csqrt%5B2018%5D%7Bcosx%7D "f(x)=\sqrt[2017]{sinx} + \sqrt[2018]{cosx}")
![f'(x)=(\sqrt[2017]{sinx} + \sqrt[2018]{cosx})'= \frac{cosx}{2017\sqrt[2017]{sin^{2016}x} } -\frac{sinx}{2018\sqrt[2018]{cos^{2017}x} }](https://tex.z-dn.net/?f=f%27%28x%29%3D%28%5Csqrt%5B2017%5D%7Bsinx%7D+%2B+%5Csqrt%5B2018%5D%7Bcosx%7D%29%27%3D+%5Cfrac%7Bcosx%7D%7B2017%5Csqrt%5B2017%5D%7Bsin%5E%7B2016%7Dx%7D+%7D+-%5Cfrac%7Bsinx%7D%7B2018%5Csqrt%5B2018%5D%7Bcos%5E%7B2017%7Dx%7D+%7D+ "f'(x)=(\sqrt[2017]{sinx} + \sqrt[2018]{cosx})'= \frac{cosx}{2017\sqrt[2017]{sin^{2016}x} } -\frac{sinx}{2018\sqrt[2018]{cos^{2017}x} }")
Так как x - в первом квадранте, то sinx постоянно возрастает, cosx постоянно убывает, значит "первая часть" в производной
![\frac{cosx}{2017\sqrt[2017]{sin^{2016}x} }](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bcosx%7D%7B2017%5Csqrt%5B2017%5D%7Bsin%5E%7B2016%7Dx%7D+%7D "\frac{cosx}{2017\sqrt[2017]{sin^{2016}x} }")
постоянно убывает от +∞ (справа при стремлении к 0) до 0 (в π/2),
а "вторая часть"
![\frac{sinx}{2018\sqrt[2018]{cos^{2017}x} }](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bsinx%7D%7B2018%5Csqrt%5B2018%5D%7Bcos%5E%7B2017%7Dx%7D+%7D+ "\frac{sinx}{2018\sqrt[2018]{cos^{2017}x} }")
постоянно возрастает от 0 (в 0) до +∞ при стремлении к π/2.
Это значит, что производная положительна до некого x_max на [0;x_max)
и отрицательна на (x_max;π/2], принимая одно нулевое значение в x_max на отрезке [0;π/2]
Так как на концах отрезка [0;π/2] рассматриваемая функция принимает значения, равные 1, во всех остальных точках отрезка [0;π/2] она принимает значения строго больше 1.
Следовательно, других корней исходного уравнения нет.