Найти наибольшее натуральное n при котором выражение 80!/8^n будет целым числом

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

80!/8^n

$\frac{80!}{8^n} = \frac{80!}{2^{3n}}$

Нужно узнать, сколько двоек содержится в 80!
80! = 1*2*3*4*5*...*79*80
В произведении 40 четных чисел: 2*4*6*... 78*80
80! можно разделить на $2^{40}$
$\frac{2*4*6*...*78*80}{2^{40}} =1*2*3*...*39*40$

Аналогично, в произведении осталось 20 четных чисел: 2,4,...38,40
Их произведение можно разделить на $2^{20}$

$\frac{2*4*6*...*38*40}{2^{20}}=1*2*3*...*19*20$

Аналогично, в произведении осталось 10 четных чисел: 2,4,...18,20
Их произведение можно разделить на $2^{10}$

$\frac{2*4*6*...*18*20}{2^{10}}=1*2*3*...*9*10$

Аналогично, в произведении осталось 5 четных чисел: 2,4,6,8,10
Их произведение можно разделить на $2^5$

$\frac{2*4*6*8*9*10}{2^5}=1*2*3*4*5$

Осталось 2*4 = $2^3$

Итого 80! можно разделить на число
$2^{40}*2^{20}*2^{10}*2^5*2^3 = 2^{78} \\ 2^{3n}=2^{78} \\ 3n=78 \\ n=26$

Ответ: максимальное натуральное число n=26

xERISx_zn (41.1k баллов) 26 Май, 18

shumeykoartem_zn · Answer 1 · 2018-05-26T13:28:37+0000

В разложении факториала 80-ти встречаются такие числа:
2, 4, 6, 8, 10..., 78, 80 (все четные числа до 80 включительно). все они содержат двойку при разложении на множители. то есть общее число двоек в разложении факториала будет некоторое количество (его и надо найти). причем 2^3=8, то есть мы получим количество восьмерок, которые есть в числителе. отсюда мы сможем найти и n.