Помогите, пожалуйста, исследовать функцию y=tg2ПХ1) производная2) критические точки3)...

0 голосов
24 просмотров

Помогите, пожалуйста, исследовать функцию y=tg2ПХ
1) производная
2) критические точки
3) исследовать y' на знак
4) сделать вывод, где возрастает и убывает, точки max и min
5) найти вторую производную
6) найти точки перегиба
7) исследовать вторую производную на знак
8) сделать вывод о выпуклости вверх или вниз, и о точках перегиба
9) построить график

Алгебра (94.4k баллов) | 24 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ
y=\mathrm{tg}2 \pi x \\\ 2 \pi x \neq \dfrac{ \pi }{2} + \pi n \\\ x \neq \dfrac{ 1}{4} + \dfrac{ n}{2} \\\ x\in \left(\dfrac{ 1}{4} + \dfrac{ n}{2} ;\dfrac{ 3}{4} + \dfrac{ n}{2} \right), \ n\in Z

y'= \dfrac{1}{\cos^22 \pi x} \cdot (2 \pi x)'=\dfrac{2 \pi }{\cos^22 \pi x}

y'=0: \\\ \dfrac{2 \pi }{\cos^22 \pi x} =0
- производная не принимает нулевых значений.

Производная не существует в точках, не попавших в область определения функции: x =\dfrac{ 1}{4} + \dfrac{ n}{2}

Учитывая положительный знаменатель производной, получаем, что функция возрастает на всей области определения при x\in \left(\dfrac{ 1}{4} + \dfrac{ n}{2} ;\dfrac{ 3}{4} + \dfrac{ n}{2} \right), \ n\in Z. Точек максимума и минимума функция не имеет

y''= \left(\dfrac{2 \pi }{\cos^22 \pi x} \right)'= 2 \pi((\cos2 \pi x)^{-2})'= \\\ =2 \pi\cdot (-2(\cos2 \pi x)^{-3})\cdot (\cos2 \pi x)'= \\\ =- \dfrac{4 \pi }{\cos^32 \pi x} \cdot (-\sin2 \pi x)\cdot (2 \pi x)'= \\\ = \dfrac{4 \pi \sin2 \pi x }{\cos^32 \pi x} \cdot 2 \pi = \dfrac{8 \pi^2 \sin2 \pi x }{\cos^32 \pi x}

y''=0 \\\ \dfrac{8 \pi^2 \sin2 \pi x }{\cos^32 \pi x} =0 \\\ 8 \pi^2 \sin2 \pi x =0 \\\ \sin2 \pi x =0 \\\ 2 \pi x= \pi n \\\ 2 x= n \\\ x= \dfrac{ n}{2} , \ n\in Z

x= \dfrac{ n}{2} , \ n\in Z - точки перегиба

y''\ \textgreater \ 0 \\\ \dfrac{8 \pi^2 \sin2 \pi x }{\cos^32 \pi x} \ \textgreater \ 0 \\\ \dfrac{ \sin2 \pi x }{\cos2 \pi x} \ \textgreater \ 0 \\\ \mathrm{tg}2 \pi x\ \textgreater \ 0 \\\ x\in \left(\dfrac{ n}{2} ;\dfrac{ 1}{4} + \dfrac{ n}{2} \right), \ n\in Z

y''\ \textless \ 0 \\\ x\in \left(-\dfrac{ 1}{4}+\dfrac{ n}{2} ; \dfrac{ n}{2} \right), \ n\in Z

Функция выпукла при x\in \left(\dfrac{ n}{2} ;\dfrac{ 1}{4} + \dfrac{ n}{2} \right), \ n\in Z
Функция вогнута при x\in \left(-\dfrac{ 1}{4}+\dfrac{ n}{2} ; \dfrac{ n}{2} \right), \ n\in Z
image
(271k баллов)
Похожие задачи