Решить треугольник, значит найти его не достающие основные элементы.
У данного нам треугольника BCD имеется 6 основных характеристик:
3 линейные (длины сторон ВС, CD, BD) и 3 угловые ( Нам известны сторона ВС и угпы В и D.
Требуется найти стороны CD и BD и 180°-(45°+60°)= 75° (так как сумма углов треугольника равна 180°).
Стороны CD и BD найдем по теореме синусов:
ВС/SinD=CD/SinB, отсюда CD=BC*Sin45/Sin60 или
CD=√3*(√2/2)/(√3/2) =√2.
ВD/SinC=CD/SinB, отсюда BD=CD*Sin75/Sin45.
Sin75=Sin(30+45)=Sin30*cos45+Cos30*sin45 =(1/2)*(√2/2)+(√3/2)*(√2/2).
Sin75=√2(1+√3)/4.
BD=√2*√2(1+√3)/(√2/2)*4=√2(1+√3)/2.
Сторону ВD можно найти и по теореме косинусов:
BC²=BD²+CD²-2*BD*СD*CosD или 3=BD²+2-2*BD*√2*(1/2) или
BD²-BD*√2-1=0.
Отсюда
BD=√2(1+√3)/2. Второй корень отрицательный и не удовлетворяет условию.
Или так:
BD²=BC²+CD²-2*BC*СD*CosC или
BD²=5-2*√3*√2*Cos75.
Cos75=Cos30*Cos45-Sin30*Sin45 = √2(√3-1)/4.
Заметим, что 4+2√3 = (1+√3)² ((1+√3)²=1+2√3+3). Тогда
BD=√[(10-6+√12)/2] = √[(4+2√3)/2] = √(1+√3)²/√2 = √2(1+√3)/2.
Ответ: √2(1+√3)/2.