Nelle987 подала хорошую мысль - посчитать остаток от деления на 9.
Далее все знаки = будут обозначать "имеет такой же остаток от деления на 9"
2018^2017 = 2^2017 = 2*2^2016 = 2*(2^6)^336 = 2*64^336 = 2*1^336 = 2
Эта сумма сумм цифр равняется 2.
Добавим, что это число называется цифровой корень.
Может ли эта 4-ая сумма сумм оказаться двузначной, и только 5-ая однозначной?
Допустим, это так. Оценим количество цифр в числе 2018^2017.
Для этого найдем его десятичный логарифм.
lg(2018^2017) = 2017*lg(2018) ≈ 2017*3,305 = 6666,185
Значит, в этом числе всего лишь 6667 цифр. Если даже там все 9, сумма цифр
не более чем 9*6667 = 60003.
Возьмем чуть меньшее число, 59999. Его сумма цифр (вторая) равна
5 + 4*9 = 5 + 36 = 41.
Значит, вторая сумма цифр не более 41. Пусть будет 39.
Тогда третья сумма равна 12, а 4-ая равна 3, то есть однозначная.
Вывод: 4-ая сумма цифр числа 2018^2017 - однозначное число.
Ответ: цифровой корень числа 2018^2017 равен 2.