С графиками и с подробным ответом

Сделаем замену переменной: введем z=y-x+2.
Заметим, что
$z^2=(y-x+2)^2=y^2-2xy+4y+x^2-4x+4$
Исходная система запишется в виде:
$\left \{ {{z^2-(x^4+2x^3-3x^2-4x+4)=0} \atop {z-(a-1)x+3a-3=0}} \right.$
$\left \{ {{z^2-(x-1)^2(x+2)^2=0} \atop {z=(a-1)(x-3)}} \right.$
Далее можно решать либо графически:
нарисовать 2 параболы из первого уравнения и прямую из второго. Либо аналитически:
Подставляя второе уравнение в первое, получаем, что
(a-1)(x-3)=(x-1)(x+2) или (a-1)(x-3)=-(x-1)(x+2).
Первое уравнение:
x^2-(a-2)x+(3a-5)=0.
Оно имеет 2 корня при D>0 и один корень при D=0.
D=a^2-4a+4-12a+20=a^2-16a+24.
Один корень при a=8+-2√10, два корня при a<8-2√10 и a>8+2√10
Второе уравнение:
x^2+ax-(3a-1)=0
Оно имеет 2 корня при D>0 и один корень при D=0.
D=a^2+12a-4.
Один корень при a=-6+-2√10, два корня при a<-6-2√10 и a>-6+2√10
Чтобы исходня система имела более двух корней, нужно чтобы одно из уравнений имело 2 корня, второе - не менее одного и наоборот.
При a<-6-2√10 каждое уравнение имеет 2 корня - всего 4 корня.<br>При a=-6-2√10 и a=-6+2√10 всего три корня
При -6+2√10При a=8-2√10 и 8+2√10 - 3 корня
При a>8+2√10 - 4 корня.
Как-то так.