1. В стопке лежат одинаковые карточки, на которых записаны
числа от 1 до
12. Билл взял одну карточку и тайно отметил на ней 4 числа.
Марк может
сделать то же самое с несколькими карточками. Затем карточки
открыва-
ют. Если на одной из карточек Марка хотя бы два из четырёх
отмеченных
чисел совпадут с числами Билла, то Марк выигрывает. Какое
наименьшее
число карточек должен взять Марк и как их заполнить, чтобы
наверняка
выиграть?
2. Дан прямоугольник abcd .
На луче dc отложен отрезок dk, равный bd.
Точка m
— середина отрезка bk.
Докажите, что am —
биссектриса угла
bac.
3. У фокусника есть два комплекта по 8 карточек. На розовых
карточках за-
писаны целые числа от 0 до 7. На первой голубой карточке
написано 1, а
число на каждой следующей голубой карточке в 8 раз больше
предыдуще-
го. Фокусник раскладывает карточки попарно (розовую с
голубой). Затем
зрители перемножают числа в каждой паре и находят сумму всех
8 про-
изведений. Фокус состоит в том, что в сумме должно
получиться простое
число. Подскажите фокуснику, какие карточки можно для этого
объеди-
нить в пары (или докажите, что у него ничего не получится).
4. На плоскости нарисовали 5 красных точек. Все середины
отрезков меж-
ду ними отметили синим цветом. Расположите красные точки
так, чтобы
синих точек было минимально возможное количество. (Точка
может ока-
заться красной и синей одновременно.)
5. По кругу в каком-то порядке выписаны числа от 1 до 88.
Какова минималь-
но возможная сумма модулей разностей между соседними
числами?
6. На продажу выставлены 20 книг по цене от 7 до 10 евро и
20 обложек
по цене от 10 центов до 1 евро, причём все цены разные.
Смогут ли Том и
Леопольд купить по книге с обложкой, заплатив одну и ту же
сумму денег?