Пусть плотность шара ρ, объём V.; объём погружённой части V'.
На шар действуют три силы (все вдоль вертикальной оси):
1) сила тяжести mg = ρVg (вертикально вниз)
2) архимедова (выталкивающая) сила, равная весу жидкости, вытесненной телом, и направленная вертикально вверх:
Fa = ρ₀V'g
3) внешняя сила F (вертикально вниз).
Условие равновесия шара:
ρVg + F = ρ₀V'g
F = g(ρ₀V'−ρV)
В исходной ситуации V' = V/2; в конечной V'=V, F'=3F:
{ F = gV(ρ₀/2−ρ)
{ 3F = gV(ρ₀−ρ)
Отсюда (ρ₀−ρ) = 3(ρ₀/2−ρ);
и окончательно
ОТВЕТ: плотность шара в 4 раза меньше плотности жидкости: ρ = ρ₀/4.