!!!!!!!!!!!!!****!!!!!!!!!

Question 1

Question 2

В 1 примере в числителе арифметическая прогрессия.
Сумма арифметической прогрессии считается по формуле:
(для натуральных чисел)
$\displaystyle S=\frac{n(n+1)}2$

$\displaystyle 1.\quad \lim_{n \to \infty} \frac{1+2+3...+n}{n^2}=\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2}=\lim_{n \to \infty} \frac{n^2+n}{2n^2}=\\\\=\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n^2}(n^2+n)}{\frac{1}{n^2}(2n^2)}=\lim_{n \to \infty} \frac{1+\frac{1}n}{2}=\frac{1+0}2=\boxed{\frac{1}2}$

$\displaystyle 2. \quad \lim_{n \to \infty} n^2(n-\sqrt{n^2+1})= \lim_{n \to \infty} \frac{n^2(n-\sqrt{n^2+1})(n+\sqrt{n^2+1})}{n+\sqrt{n^2+1}}=\\\\\\=\lim_{n \to \infty} \frac{n^2(n^2-(n^2+1)}{n+\sqrt{n^2+1}}=\lim_{n \to \infty} \frac{n^2(n^2-n^2-1)}{n+\sqrt{n^2+1}}=\\\\\\=-\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^2}{n^2}}{\frac{1}{n^2}(n+\sqrt{n^2+1})}=-\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{n}+\sqrt{\frac{n^2}{n^4}+\frac{1}{n^4}}}=$

$\displaystyle =-\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{n}+\sqrt{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^4}}}=-\frac{1}{0+\sqrt{0+0}}=-\frac{1}0=\boxed{-\infty }$

Формула суммы для квадратов n натуральных чисел:
$\displaystyle S=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\displaystyle 3.\quad \lim_{n \to \infty} \frac{1+4+9+...n^2}{n^2+3n+2}= \lim_{n \to \infty} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6(n^2+3n+2)}=...$

Сразу видно, что в числителе старшая степень: 3
В знаменателе: 2
Значит, предел стремится к бесконечности.
Но вот всё таки подробное решение:

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6(n^2+3n+2)}= \left[\begin{array}{ccc}n^2+3n+2\\D=9-8=1\\x_{12}=\frac{-3б1}{2}=-1,-2\end{array}\right] =\\\\\\=\lim_{n \to \infty} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6(n+1)(n+2)}=\lim_{n \to \infty} \frac{n(2n+1)}{6(n+2)}= \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2+n}{6n+12}=\\\\\\=\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2n^2}{n^2}+\frac{n}{n^2}}{\frac{6n}{n^2}+\frac{12}{n^2}}=\frac{2+0}{0+0}=\frac{2}{0}=\boxed{\infty}$

SYSTEMCORE_zn · Answer 1 · 2018-05-26T19:20:05+0000

В 1 примере в числителе арифметическая прогрессия.
Сумма арифметической прогрессии считается по формуле:
(для натуральных чисел)
$\displaystyle S=\frac{n(n+1)}2$

$\displaystyle 1.\quad \lim_{n \to \infty} \frac{1+2+3...+n}{n^2}=\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2}=\lim_{n \to \infty} \frac{n^2+n}{2n^2}=\\\\=\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n^2}(n^2+n)}{\frac{1}{n^2}(2n^2)}=\lim_{n \to \infty} \frac{1+\frac{1}n}{2}=\frac{1+0}2=\boxed{\frac{1}2}$

$\displaystyle 2. \quad \lim_{n \to \infty} n^2(n-\sqrt{n^2+1})= \lim_{n \to \infty} \frac{n^2(n-\sqrt{n^2+1})(n+\sqrt{n^2+1})}{n+\sqrt{n^2+1}}=\\\\\\=\lim_{n \to \infty} \frac{n^2(n^2-(n^2+1)}{n+\sqrt{n^2+1}}=\lim_{n \to \infty} \frac{n^2(n^2-n^2-1)}{n+\sqrt{n^2+1}}=\\\\\\=-\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^2}{n^2}}{\frac{1}{n^2}(n+\sqrt{n^2+1})}=-\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{n}+\sqrt{\frac{n^2}{n^4}+\frac{1}{n^4}}}=$

$\displaystyle =-\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{n}+\sqrt{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^4}}}=-\frac{1}{0+\sqrt{0+0}}=-\frac{1}0=\boxed{-\infty }$

Формула суммы для квадратов n натуральных чисел:
$\displaystyle S=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\displaystyle 3.\quad \lim_{n \to \infty} \frac{1+4+9+...n^2}{n^2+3n+2}= \lim_{n \to \infty} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6(n^2+3n+2)}=...$

Сразу видно, что в числителе старшая степень: 3
В знаменателе: 2
Значит, предел стремится к бесконечности.
Но вот всё таки подробное решение:

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6(n^2+3n+2)}= \left[\begin{array}{ccc}n^2+3n+2\\D=9-8=1\\x_{12}=\frac{-3б1}{2}=-1,-2\end{array}\right] =\\\\\\=\lim_{n \to \infty} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6(n+1)(n+2)}=\lim_{n \to \infty} \frac{n(2n+1)}{6(n+2)}= \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2+n}{6n+12}=\\\\\\=\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2n^2}{n^2}+\frac{n}{n^2}}{\frac{6n}{n^2}+\frac{12}{n^2}}=\frac{2+0}{0+0}=\frac{2}{0}=\boxed{\infty}$