Помогите решить 3 задания (Коши, частное решение уравнения удовлетворяющее начальному...

Question 1

Помогите решить 3 задания (Коши, частное решение уравнения удовлетворяющее начальному условию, общее решение дифференциального уравнения).

Question 2

Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
$\sqrt{3+y^2}+\sqrt{1-x^2}y\frac{dy}{dx}=0|*\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}\sqrt{3+y^2}}\\\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=-\frac{ydy}{\sqrt{3+y^2}}\\\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=-\frac{1}{2}\int\frac{d(3+y^2)}{\sqrt{3+y^2}}\\arcsinx=-\sqrt{3+y^2}+C\\arcsinx+\sqrt{3+y^2}=C$
При делении мы теряем возможное решение: $y=^+_-\sqrt{3}i$ , проверяем.
$y=^+_-\sqrt{3}i\\y'=0\\\sqrt{3+y^2}+\sqrt{1-x^2}yy'=0\\\sqrt{3-3}+0=0\\0=0$
$y=^+_-\sqrt{3}i$ является решением дифференциального уравнения.
Окончательный ответ:
$arcsinx+\sqrt{3+y^2}=C;y=^+_-\sqrt{3}i$
----------
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 1-го порядка.
$y'-\frac{y}{x}=2lnx\\y=uv;y'=u'v+v'u\\u'v+v'u-\frac{1}{x}uv=2lnx\\u'v+u(v'-\frac{1}{x}v)=2lnx\\\begin{cases}v'-\frac{1}{x}v=0\\u'v=2lnx\end{cases}\\\frac{dv}{dx}-\frac{v}{x}=0|*\frac{dx}{v}\\\frac{dv}{v}=\frac{dx}{x}\\\int\frac{dv}{v}=\int\frac{dx}{x}\\ln|v|=ln|x|\\v=x\\\frac{du}{dx}x=2lnx|*\frac{dx}{x}\\du=\frac{2lnxdx}{x}\\\int du=2\int lnxd(lnx)\\u=ln^2|x|+C\\y=xln^2|x|+Cx\\y(1)=1\\\\1=0+C\\C=1\\y=xln^2|x|+x$
----------
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка
$y''-9y=(4x+2)e^x\\\lambda^2-9=0\\\lambda^2=9\\\lambda_{1,2}=^+_-3\\Y=C_1e^{-3x}+C_2e^{3x}\\\hat{y}=(Ax+B)e^{x}\\\hat{y}'=Ae^{x}+(Ax+B)e^{x}\\\hat{y}''=2Ae^x+(Ax+B)e^{x}\\\\2Ae^x+(Ax+B)e^{x}-9(Ax+B)e^{x}=(4x+2)e^x\\e^x|A-4B=1=\ \textgreater \ B=-\frac{3}{8}\\xe^x|-8A=4=\ \textgreater \ A=-\frac{1}{2}\\\hat{y}=(-\frac{1}{2}x-\frac{3}{8})e^x\\y=Y+\hat{y}=C_1e^{-3x}+C_2e^{3x}-(\frac{1}{2}x+\frac{3}{8})e^x\\$
$y=C_1e^{-3x}+C_2e^{3x}-(\frac{1}{2}x+\frac{3}{8})e^x\\y(0)=1\\1=C_1+C_2-\frac{3}{8}\\C_1+C_2=\frac{11}{8}\\\\\\y'=-3C_1e^{-3x}+3C_2e^{3x}-\frac{1}{2}e^x-(\frac{1}{2}x+\frac{3}{8})e^x\\y'(0)=0\\0=-3C_1+3C_2-\frac{1}{2}-\frac{3}{8}\\3C_1-3C_2=-\frac{7}{8}\\\\\begin{cases}C_1+C_2=\frac{11}{8}|*3\\3C_1-3C_2=-\frac{7}{8}\end{cases}=\ \textgreater \ \begin{cases}3C_1+3C_2=\frac{33}{8}\\-\\3C_1-3C_2=-\frac{7}{8}\end{cases}\\6C_2=5\\C_2=\frac{5}{6}\\C_1=\frac{11}{8}-\frac{5}{6}=\frac{33-20}{24}=\frac{13}{24}$
$y=\frac{13}{24}e^{-3x}+\frac{5}{6}e^{3x}-(\frac{1}{2}x+\frac{3}{8})e^x$

Alexаndr_zn · Answer 1 · 2018-05-26T20:12:21+0000

Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
$\sqrt{3+y^2}+\sqrt{1-x^2}y\frac{dy}{dx}=0|*\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}\sqrt{3+y^2}}\\\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=-\frac{ydy}{\sqrt{3+y^2}}\\\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=-\frac{1}{2}\int\frac{d(3+y^2)}{\sqrt{3+y^2}}\\arcsinx=-\sqrt{3+y^2}+C\\arcsinx+\sqrt{3+y^2}=C$
При делении мы теряем возможное решение: $y=^+_-\sqrt{3}i$ , проверяем.
$y=^+_-\sqrt{3}i\\y'=0\\\sqrt{3+y^2}+\sqrt{1-x^2}yy'=0\\\sqrt{3-3}+0=0\\0=0$
$y=^+_-\sqrt{3}i$ является решением дифференциального уравнения.
Окончательный ответ:
$arcsinx+\sqrt{3+y^2}=C;y=^+_-\sqrt{3}i$
----------
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 1-го порядка.
$y'-\frac{y}{x}=2lnx\\y=uv;y'=u'v+v'u\\u'v+v'u-\frac{1}{x}uv=2lnx\\u'v+u(v'-\frac{1}{x}v)=2lnx\\\begin{cases}v'-\frac{1}{x}v=0\\u'v=2lnx\end{cases}\\\frac{dv}{dx}-\frac{v}{x}=0|*\frac{dx}{v}\\\frac{dv}{v}=\frac{dx}{x}\\\int\frac{dv}{v}=\int\frac{dx}{x}\\ln|v|=ln|x|\\v=x\\\frac{du}{dx}x=2lnx|*\frac{dx}{x}\\du=\frac{2lnxdx}{x}\\\int du=2\int lnxd(lnx)\\u=ln^2|x|+C\\y=xln^2|x|+Cx\\y(1)=1\\\\1=0+C\\C=1\\y=xln^2|x|+x$
----------
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка
$y''-9y=(4x+2)e^x\\\lambda^2-9=0\\\lambda^2=9\\\lambda_{1,2}=^+_-3\\Y=C_1e^{-3x}+C_2e^{3x}\\\hat{y}=(Ax+B)e^{x}\\\hat{y}'=Ae^{x}+(Ax+B)e^{x}\\\hat{y}''=2Ae^x+(Ax+B)e^{x}\\\\2Ae^x+(Ax+B)e^{x}-9(Ax+B)e^{x}=(4x+2)e^x\\e^x|A-4B=1=\ \textgreater \ B=-\frac{3}{8}\\xe^x|-8A=4=\ \textgreater \ A=-\frac{1}{2}\\\hat{y}=(-\frac{1}{2}x-\frac{3}{8})e^x\\y=Y+\hat{y}=C_1e^{-3x}+C_2e^{3x}-(\frac{1}{2}x+\frac{3}{8})e^x\\$
$y=C_1e^{-3x}+C_2e^{3x}-(\frac{1}{2}x+\frac{3}{8})e^x\\y(0)=1\\1=C_1+C_2-\frac{3}{8}\\C_1+C_2=\frac{11}{8}\\\\\\y'=-3C_1e^{-3x}+3C_2e^{3x}-\frac{1}{2}e^x-(\frac{1}{2}x+\frac{3}{8})e^x\\y'(0)=0\\0=-3C_1+3C_2-\frac{1}{2}-\frac{3}{8}\\3C_1-3C_2=-\frac{7}{8}\\\\\begin{cases}C_1+C_2=\frac{11}{8}|*3\\3C_1-3C_2=-\frac{7}{8}\end{cases}=\ \textgreater \ \begin{cases}3C_1+3C_2=\frac{33}{8}\\-\\3C_1-3C_2=-\frac{7}{8}\end{cases}\\6C_2=5\\C_2=\frac{5}{6}\\C_1=\frac{11}{8}-\frac{5}{6}=\frac{33-20}{24}=\frac{13}{24}$
$y=\frac{13}{24}e^{-3x}+\frac{5}{6}e^{3x}-(\frac{1}{2}x+\frac{3}{8})e^x$