Решите неравенство: x^4-4x^3+12x^2-24x+24<0

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

Сделаем замену: $x=y+1$
$x^4-4x^3+12x^2-24x+24=\\ (y+1)^4-4(y+1)^3+12(y+1)^2-24(y+1)+24=\\ =...=y^4+6y^2-8y+9=(y^2+3)^2-8y$

Рассмотрим, как ведут себя функции: $f_1(y)=(y^2+3)^2$ и $f_2(y)=8y$
--------------------------
первая - параболического типа, монотонно убывает на промежутке $(-\infty;0]$ и монотонно растет на промежутке $[0;+\infty;0)$
вершина: $(0;9)$

для любого значения $y$ из промежутка $(-\infty;0]$ выражение $(y^2+3)^2-8y$ принимает положительные значения, так как вторая функция - монотонно растущая и при значении $y=0$ достигает лишь нуля, в то время, как вторая функция в принципе не принимает значений меньших за $9$ .

Осталось разобраться с промежутком положительных чисел.
Для этого будем анализировать скорости роста обеих функций (их производные)
$f_1'(y)=[(y^2+3)^2]'=2(y^2+3)(y^2+3)'=2(y^2+3)(2y)=4y^3+12y$
$f_2'(y)=(8y)'=8$
Как видим, скорость роста второй функции постоянна, при увеличении у-ка на 1, функция $f_2(y)$ прибывает на 8
Вторая же функция, скорость её изменения на интерсном нам интервале: $[0;+\infty)$ положительна, и уже при $y=1$ равна: $f_1'(1)=4*1^3+12*1\ \textgreater \ 8$ (и дльше только растет) т.е, первая функция после $y=1$ гарантированно растет быстрее чем вторая, при чем на момент $y=1$ вторая функция не успела догнать первую: $f_1(1)=(1^2+3)^2=16\ \textgreater \ f_2(1)=8*1=8$

Это и означает, что выражение $(y^2+3)^2-8y$ принимает исключительно положительные значения, и исходное неравенство действительных решений не имеет.
-----------------------------------------------------

xtoto_zn (8.6k баллов) 27 Май, 18