3. Даны два вектора a(-1; 3; -3) и b(1; 0; 1). Найти вектор, перпендикулярный им. Такой вектор находится как векторное произведение [aхb].
![c=[a b] = \left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\-1&3&-3\\1&0&1\end{array}\right] =](https://tex.z-dn.net/?f=c%3D%5Ba++b%5D+%3D++%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7Di%26j%26k%5C%5C-1%263%26-3%5C%5C1%260%261%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+%3D+ "c=[a b] = \left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\-1&3&-3\\1&0&1\end{array}\right] =")
Итак, искомый вектор c(3; -2; -3)
4. Имеем 3 точки А(1; 2; -3), В(1; 4; -1) и С(-2; 2; 1). По ним построим плоскость. Для этого найдём нормальный вектор плоскости n, как векторное произведение векторов АВ и АС. Зная вектор n и любую точку плоскости, можно будет составить общее уравнение плоскости. В это уравнение подставим координаты точки D и найдём координату икс (в задании лямбда, но это неважно, какая буква).
Найдём вектор AB = (1-1; 4-2; -1-(-3)) = (0; 2; 2)
Найдём вектор AC = (-2-1; 2-2; 1-(-3)) = (-3; 0; 4)
Ищем вектор нормали n плоскости, как векторное произведение:
![n = [AB*AC] = \left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\0&2&2\\-3&-2&2\end{array}\right] = \\ \\ = i(2*2-2*(-2)) -j(0*2-2*(-3)) +k(0*(-2)-2*(-3)) = \\ \\ 8i -6j +6k](https://tex.z-dn.net/?f=n+%3D+%5BAB%2AAC%5D+%3D+++%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7Di%26j%26k%5C%5C0%262%262%5C%5C-3%26-2%262%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+%3D+%5C%5C++%5C%5C+%3D+i%282%2A2-2%2A%28-2%29%29+-j%280%2A2-2%2A%28-3%29%29+%2Bk%280%2A%28-2%29-2%2A%28-3%29%29+%3D+%5C%5C+%5C%5C+8i+-6j+%2B6k "n = [AB*AC] = \left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\0&2&2\\-3&-2&2\end{array}\right] = \\ \\ = i(2*2-2*(-2)) -j(0*2-2*(-3)) +k(0*(-2)-2*(-3)) = \\ \\ 8i -6j +6k")
По найденному вектору и, допустим, точке А(1; 2; -3) составляем уравнение плоскости:
Подставляем в уравнение плоскости 
точку D(x; 2; 1):
Итак, точка D(-2; 2; 1) лежит в той же плоскости, что и точки A, B и C.
Ответ: х = -2 (или лямбда = -2)