Обязанность подразумевает под собой, что человек обязан что-либо сделать, но он может и не делать этого из-за личных соображений и причин.
А долг настаивает, что вы должны выполнить свою обязанность несмотря на личные соображения.
Их объединяет то, что если ты должен человеку, то ты по сути обязан.