Найти первообразную: f(x)=(x+7)^4

$\int\limits {f(x)} \, dx = \int\limits {(x+7)^4 } \, dx = \\ \\ =\int\limits {(x+7)^4 } \, d(x+4) = \frac{1}{4+1} (x+7)^{4+1}+C= \frac{(x+7)^5}{5} +C$

Использовали формулу нахождения первообразной степенной функции:
$\int\limits {x^n} \, dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} +C$

Чтобы напрямую воспользоваться данной формулой, под дифференциалом делаем такое же выражение, как само основание.
Действительно, d(x+7) = dx. Т.е. любую константу можно приплюсовать к переменно под дифференциалом.

Можно пойти другом путём и сделать замену.
Пусть t = x + 7, тогда dt = dx (или dx = dt).
После замену надо будет найти такую первообразную:

$\int\limits {(x+7)^4 } \, dx = \int\limits {t^4 } \, dt = \frac{1}{4+1} t^{4+1}+C= \frac{(x+7)^5}{5} +C$

После нахождения первообразной сделали обратную замену.