Найти общее решение дифференциального уравнения:

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

ДУ первого порядка, разрешенной относительно производной. Не трудно заметить, что данное дифференциальное уравнения является однородным, т.е., воспользовавшись условием однородности,
$y'= \dfrac{\lambda y}{\lambda x} -tg\dfrac{\lambda y}{\lambda x} ~~~~~~~~\Rightarrow~~~~~~~~ y'=\dfrac{y}{x} -tg\dfrac{y}{x}$

Введём замену y=ux, тогда, дифференцируя по правилу произведения двух функций, y' = u'x + u. В результате замены переменной получим ДУ с разделяющимися переменными:
   $u'x+u=\dfrac{ux}{x} -tg\dfrac{ux}{x} \\ \\ u'x+u=u-tgu\\ \\ u'x=-tgu$
Переходя к дифференциалу:
$\displaystyle \frac{du}{dx} \cdot x=-tgu$
И здесь же разделим переменные и затем проинтегрируем оба части уравнения.

   $\displaystyle \int \frac{\cos udu}{\sin u}=-\int \frac{dx}{x} ~~~~\Rightarrow~~~~~ \int \frac{d\sin u}{\sin u} =- \int\frac{dx}{x} \\ \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~ \ln|\sin u|=-\ln |x|+\ln C\\ \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~u= \arcsin\bigg(\frac{C}{x} \bigg)$

Теперь осталось осуществить обратную замену: $u= \dfrac{y}{x}$

$\dfrac{y}{x} =\arcsin\bigg(\dfrac{C}{x} \bigg)$

откуда
$y=x\arcsin\bigg(\dfrac{C}{x} \bigg)$ - общее решение

LecToRJkeeeee_zn (51.5k баллов) 27 Май, 18