Примем метод Лагранжа или так называемый метод: "метод вариации произвольных постоянных).
Суть этого метода заключается в следующем: Сначала ищем общее решение однородного уравнения. И принимаем константу как за функцию.
1) Найдем общее решение соответствующего дифференциального уравнения:
y'-3y = 0 откуда y = C * exp{3x}
2) Примем C = C(x), имеем y = C(x) * exp{3x}
y' = 3C(x) * exp{3x} + C'(x)*exp{3x}
Подставив в исходное уравнение, получим: C'(x)*exp{3x} = exp{3x}
C'(x) = 1 интегрируя, получим C(x) = x + C1
Общее решение неоднородного уравнения: y = (x + C) * exp{3x}
Осталось теперь найти частное решение задачи Коши :
C = 1 откуда y = (x + 1) * exp{3x}