Исследовать функцию f(x) ** непрерывность. Определить характер точек разрыва, если они...

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Утверждение:

Функция $f$ непрерывна в $\mathbb R\setminus \{2\}$ .

Доказательство:

Для всех $x \leq 1$ , функция $f$ является постоянной.

Следовательно, для всех $x_0\ \textless \ 1$ выполняется:

$\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)=1=f(x_0)$

Т.е. данная функция непрерывна в $(-\infty,1)$ .

Докажем что,

$\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x)=f(1)=1$

Для этого достаточно найти односторонние пределы:

$\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x), \lim_{x \to 1^+} f(x)$

Для всех $x\ \textless \ 1$ выполняется $f(x)=1$ , следовательно:

$\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x) =1=f(1)$

Для всех $1\ \textless \ x \leq 2$ выполняется $f(x)=2-x^2$ , следовательно:

$\displaystyle \lim_{x \to 1^+} f(x) =\displaystyle \lim_{x \to 1^+} (2-x^2)=2-1=1=f(1)$

Отсюда следует:

$\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x)=f(1)$

Следовательно, $f$ непрерывна в $x=1$ .

Для всех $x\ \textgreater \ 2$ , выполняется $f(x)=x-1$ .

Следовательно, для всех $x_0 \in (2,+\infty)$ выполняется:

$\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)= \lim_{x \to x_0} (x-1)=x_0-1=f(x_0)$

Т.е. $f$ непрерывна в $(2,+\infty)$ .

Таким же образом, $f$ непрерывна в $(1,2)$ , т.к.:

$\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)=\lim_{x \to x_0} (2-x^2)=2-x_0^2=f(x_0)$

Для всех $x_0 \in (1,2)$ .

Теперь докажем что $x_0=2$ точка разрыва типа "скачок":

Для всех $1\ \textless \ x\ \textless \ 2$ , $f(x)=2-x^2$ следовательно:

$\displaystyle \lim_{x \to 2^-}f(x)= \lim_{x \to 2^-} (2-x^2)=2-2^2=-2$

Однако, для всех $x\ \textgreater \ 2$ , $f(x)=x-1$ . Следовательно:

$\displaystyle \lim_{x \to 2^+}f(x)= \lim_{x \to 2^+}(x-1)=2-1=1$

Т.е. $\displaystyle \lim_{x \to 2^+}f(x)\ne\lim_{x \to 2^-}f(x)$ .

В итоге, получаем что $f$ непрерывна в $\mathbb R \setminus\{2\}$ .

Ч.Т.Д.

Newtion_zn (46.3k баллов) 27 Май, 18