Решите неравенство плиз.

Question

Дан 1 ответ

skvrttt_zn · Answer 1 · 2018-05-27T12:03:35+0000

Ещё раз взглянем на исходное неравенство: $\mathtt{7^{\ln(x^2+2x)}\leq(2-x)^{\ln7}}$

напомню об области допустимых значений неравенства, без решения которой на ЕГЭ ставят 0 баллов: $\mathtt{x\in(-\infty;-2)U(0;2)}$

прологарифмируем обе части неравенства: $\mathtt{\log_77^{\ln(x^2+2x)}\leq\log_7(2-x)^{\ln7}}$

исходя формулам, первый логарифм преобразовывается в показатель степени аргумента, а вот показатель степени аргумента второго логарифма я бы посоветовал вынести перед самим логарифмом: $\mathtt{\ln(x^2+2x)\leq\ln7\log_7(2-x)}$

поделим обе части неравенства на $\mathtt{\ln7}$ , положительное число: $\mathtt{\frac{\ln(x^2+2x)}{\ln7}\leq\log_7(2-x)}$

исходя формуле о переходе от одного основания к другому, преобразовываем наше неравенство: $\mathtt{\log_7(x^2+2x)\leq\log_7(2-x)}$

логарифм – функция возрастающая (основание превосходит единицу), то есть большему значению аргумента соответствует большее значение функции и, поэтому, при отбрасывании логарифмов (если так можно выразиться) знак менять мы не должны: $\mathtt{x^2+2x\leq2-x}$

перед нами дефолтное квадратное неравенство, которое мы решим через дискриминант:
$\mathtt{x^2+2x\leq2-x;~x^2+3x-2\leq0;~D=3^2-4*1*(-2)=17;~}\\\mathtt{x_1=\frac{-3-\sqrt{17}}{2}~u~x_2=\frac{-3+\sqrt{17}}{2}~\to~x\in(\frac{-3-\sqrt{17}}{2};\frac{-3+\sqrt{17}}{2})}$

осталось только лишь оценить эти корни и записать ответ:

$\mathtt{\sqrt{16}\ \textless \ \sqrt{17}\ \textless \ \sqrt{25};~4\ \textless \ \sqrt{17}\ \textless \ 5;~-5\ \textless \ -\sqrt{17}\ \textless \ -4;~}\\\mathtt{-8\ \textless \ -3-\sqrt{17}\ \textless \ -7;~-4\ \textless \ \frac{-3-\sqrt{17}}{2}\ \textless \ -3,5;}\\\\\mathtt{\sqrt{16}\ \textless \ \sqrt{17}\ \textless \ \sqrt{25};~~1\ \textless \ -3+\sqrt{17}\ \textless \ 2;~0,5\ \textless \ \frac{-3+\sqrt{17}}{2}\ \textless \ 1.}\\\\\mathtt{OTBET:~x\in(\frac{-3-\sqrt{17}}{2};\frac{-3+\sqrt{17}}{2})}$