Неопределенный интеграл dx/sqrt(1-4x^2)

Question 1

Question 2

$\int \sqrt{1-4x^{2}} dx$

Подставляем интеграл: $x = \frac{1}{2} sin(u)$
$= \frac{1}{2} sin(2u) = ( \frac{1}{2}* \frac{1}{2} (u+ \frac{1}{2} sin(2u))$ $\int ( \sqrt{1-4x^{2}} )=\int \frac{1}{2} cos(u) \sqrt{1-sin^{2}(u)}du$

Используем это тождество: $1-sin^{2}(x)=cos^{2}x$
$= \frac{1}{2} * \int \sqrt{cos^{2}(u)} cos(u) du = \frac{1}{2} * \int cos(u) cos(u) du$

Уточнение:
$\frac{1}{2}* \int cos^{2} x(u) du$

Используем ещё одно тождество: $cos^{2}x= \frac{1+cos(2x)}{2}$
$= \frac{1}{2}* \int \frac{1+cos(2u)}{2} du$

Извлекаем константу:
$=\frac{1}{2} * \frac{1}{2} *\int 1+cos(2u)du$

Далее применяем правило суммы:
$= \frac{1}{2} * \frac{1}{2} (\int 1 du+ \int cos(2u) du)$
$\int1 du = u$

$\int (cos(2u)du$

Применяем подстановку интеграла: v=2u
$=\int cos(v) \frac{1}{2} dv$

Извлекаем константу:
$= \frac{1}{2} *\int cos(v)dx$

Используем общий интеграл:
$=\frac{1}{2} sin(v)$

Обратная замена: v=2u
$=\frac{1}{2} sin(2u)= (\frac{1}{2} * \frac{1}{2} (u+ \frac{1}{2} sin(2u))$

Производим обратную замену: u=arcsin(2x)
$= \frac{1}{2}* \frac{1}{2} (arcsin(2x)+ \frac{1}{2} sin(2arcsin(2x))$

А теперь упрощаем:
$\frac{1}{2} * \frac{1}{2} (arcsin(2x)+ \frac{1}{2} (2arcsin(2x))= \frac{1*1}{2*2} (arcsin(2x)+ \frac{1}{2} (2arcsin(2x)))$
$=\frac{1}{2*2} (arcsin(2x)+ \frac{1}{2} (2srcsin(2x)))$
$=\frac{1}{4} (arcsin(2x)+ \frac{1}{2} sin (2arcsin(2arcsin(2x)))$
$= \frac{1}{4} (arcsin(2x)+ \frac{1}{2} sin (2arcsin(2x)))$

Добавляем константу к решению:
$= \frac{1}{4} (arcsin(2x)+ \frac{1}{2} sin (2arcsin (2x)))+C$

Question 3

там dx/корень (1-4x^2)

Question 4

Ааа, сейчас исправлю)

Question 5

Спасибо!)

Question 6

Готово)