С полем решением , пожалуйста ..

Question 1

Question 2

Найти производные
$1.y=x \sqrt[x]{ \frac{1}{1+x}}$
Применяем правило
$y'= y*(ln(y))'$
$ln(y)=ln \sqrt[x]{ \frac{2}{1+x}}=ln( \frac{2}{1+x} )^{ \frac{1}{x} }= \frac{1}{x}(ln2-ln(1+x))= \frac{ln2}{x}- \frac{ln(1+x)}{x}$
$(ln(y))'=(\frac{ln2}{x}- \frac{ln(1+x)}{x})' = - \frac{ln2}{x^2}- \frac{(ln(1+x))'*x-ln(1+x)*x'}{x^2} =$ $- \frac{ln2}{x^2}- \frac{ \frac{x}{1+x}-ln(1+x)}{x^2} =- \frac{ln2}{x^2}- \frac{1}{x+x^2}+ \frac{ln(1+x)}{x^2}$

$y'=x \sqrt[x]{ \frac{1}{1+x}}*( \frac{1}{x^2}*ln(\frac{1+x}{2}) - \frac{1}{x+x^2})$

$2. y =2 \frac{1-x}{1+x}$
Возможно два варианта
а) 2 это целая часть перед дробью
$y' =(2+ \frac{1-x}{1+x})'= \frac{(1-x)'(1+x)-(1-x)*(1+x)'}{(1+x)^2}= \frac{-(1+x)-(1-x)}{(1+x)^2}=$ $\frac{-1-x-1+x}{(1+x)^2}=\frac{-2}{(1+x)^2}$
б) 2 это множитель перед дробью(хотя обычно его записывают в числитель дроби)
$y' =(2*\frac{1-x}{1+x})'= 2*\frac{(1-x)'(1+x)-(1-x)*(1+x)'}{(1+x)^2}= \frac{-4}{(1+x)^2}$

$3. tg( \frac{y}{x} )-lny =x^2$

Дифференцируем обе части уравнения одновременно и выражаем y'
$(tg( \frac{y}{x} )-lny)' =(x^2)'$
$cos^2(\frac{y}{x} )*(\frac{y}{x} )'- \frac{1}{y}*y' = 2x$
$cos^2(\frac{y}{x} )*\frac{y'*x-y*x'}{x^2}- \frac{1}{y}*y' = 2x$
$cos^2(\frac{y}{x} )*\frac{y'*x-y}{x^2}- \frac{1}{y}*y' = 2x$
$cos^2(\frac{y}{x} )*\frac{y'}{x}-cos^2(\frac{y}{x} )*\frac{y}{x^2}- \frac{1}{y}*y' = 2x$
$cos^2(\frac{y}{x} )*\frac{y'}{x}- \frac{1}{y}*y' = 2x+cos^2(\frac{y}{x} )*\frac{y}{x^2}$
$y'( \frac{cos^2(\frac{y}{x} )}{x}- \frac{1}{y})= 2x+cos^2(\frac{y}{x} )*\frac{y}{x^2}$

$y'= \frac{2x+cos^2(\frac{y}{x} )*\frac{y}{x^2}}{ \frac{cos^2(\frac{y}{x} )}{x}- \frac{1}{y}}$

Minsk00_zn · Answer 1 · 2018-05-27T13:11:57+0000

Найти производные
$1.y=x \sqrt[x]{ \frac{1}{1+x}}$
Применяем правило
$y'= y*(ln(y))'$
$ln(y)=ln \sqrt[x]{ \frac{2}{1+x}}=ln( \frac{2}{1+x} )^{ \frac{1}{x} }= \frac{1}{x}(ln2-ln(1+x))= \frac{ln2}{x}- \frac{ln(1+x)}{x}$
$(ln(y))'=(\frac{ln2}{x}- \frac{ln(1+x)}{x})' = - \frac{ln2}{x^2}- \frac{(ln(1+x))'*x-ln(1+x)*x'}{x^2} =$ $- \frac{ln2}{x^2}- \frac{ \frac{x}{1+x}-ln(1+x)}{x^2} =- \frac{ln2}{x^2}- \frac{1}{x+x^2}+ \frac{ln(1+x)}{x^2}$

$y'=x \sqrt[x]{ \frac{1}{1+x}}*( \frac{1}{x^2}*ln(\frac{1+x}{2}) - \frac{1}{x+x^2})$

$2. y =2 \frac{1-x}{1+x}$
Возможно два варианта
а) 2 это целая часть перед дробью
$y' =(2+ \frac{1-x}{1+x})'= \frac{(1-x)'(1+x)-(1-x)*(1+x)'}{(1+x)^2}= \frac{-(1+x)-(1-x)}{(1+x)^2}=$ $\frac{-1-x-1+x}{(1+x)^2}=\frac{-2}{(1+x)^2}$
б) 2 это множитель перед дробью(хотя обычно его записывают в числитель дроби)
$y' =(2*\frac{1-x}{1+x})'= 2*\frac{(1-x)'(1+x)-(1-x)*(1+x)'}{(1+x)^2}= \frac{-4}{(1+x)^2}$

$3. tg( \frac{y}{x} )-lny =x^2$

Дифференцируем обе части уравнения одновременно и выражаем y'
$(tg( \frac{y}{x} )-lny)' =(x^2)'$
$cos^2(\frac{y}{x} )*(\frac{y}{x} )'- \frac{1}{y}*y' = 2x$
$cos^2(\frac{y}{x} )*\frac{y'*x-y*x'}{x^2}- \frac{1}{y}*y' = 2x$
$cos^2(\frac{y}{x} )*\frac{y'*x-y}{x^2}- \frac{1}{y}*y' = 2x$
$cos^2(\frac{y}{x} )*\frac{y'}{x}-cos^2(\frac{y}{x} )*\frac{y}{x^2}- \frac{1}{y}*y' = 2x$
$cos^2(\frac{y}{x} )*\frac{y'}{x}- \frac{1}{y}*y' = 2x+cos^2(\frac{y}{x} )*\frac{y}{x^2}$
$y'( \frac{cos^2(\frac{y}{x} )}{x}- \frac{1}{y})= 2x+cos^2(\frac{y}{x} )*\frac{y}{x^2}$

$y'= \frac{2x+cos^2(\frac{y}{x} )*\frac{y}{x^2}}{ \frac{cos^2(\frac{y}{x} )}{x}- \frac{1}{y}}$